1 (число)

Это статья о единице как числе. О других значениях см.: Единица, 1-й год

1 (оди́н, един, единица, аз) — наименьшее натуральное число, целое число между 0 и 2.

В истории

• Ряд знаменитых учёных Древней Греции не рассматривал один как число: они представляли его как олицетворение единственности, полагая при этом первым «истинным» числом два — наименьшее олицетворение множественности.
• Платон рассматривал единицу не как начало числового ряда, а как нечто неделимое (какой-нибудь непрерывный процесс, геометрическая фигура, мысли о чём-либо)
• Античная эстетика рассматривает единицу как создающую и управляющую, устанавливающую равновесие, логос.
• В математике инков единица обозначалось в кипу в виде 1 узла на свисающей нити.

В математике

Единственное число, которое равно своему обратному. Поэтому привело к одному из основных понятий в теории групп — единице.

Для любого числа x:

x·1 = 1·x = x (см.: умножение). Как результат, 1 является автоморфным числом в любой позиционной системе счисления.

x/1 = x (см.: деление)

x¹ = x, 1^x = 1, и для ненулевого числа x, x⁰ = 1 (см.: возведение в степень)

x↑↑1 = x и 1↑↑x = 1 (см.: суперстепень).

Число 1 не может быть использовано как основа позиционной системы счисления, но существует унарная система счисления, являющейся суммарной. Поскольку квадрат, куб и любая другая степень числа 1 равняется единице, невозможно брать логарифмы от числа, не равного 1, по основанию 1.

В настоящее время в математике принято не относить единицу ни к простым, ни к составным числам, так как это нарушает важную для теории чисел единственность разложения на множители. Последним из профессиональных математиков, кто рассматривал 1 как простое число, был Анри Лебег в 1899 году. При этом некоторые совершают подобную ошибку и поныне: так, Карл Саган включил 1 в список простых чисел в своей книге «Контакт», вышедшей в 1985 году.

Число 1 является:

• факториалом числа 1
• факториалом числа 0
• первым и вторым числами Фибоначчи
• нулевым и первым числом Каталана
• нулевым и первым числом Белла
• первым числом Мерсенна (2¹-1)
• первым треугольным числом
• первым пятиугольным числом
• первым тетраэдральным числом
• максимальным значением разряда в двоичной системе счисления

10¹ называется десять, десятичные приставки: дека (да) и деци (д)

2¹ = 2

Число 1 — наименьшее натуральное число, большее нуля (является ли нуль натуральным числом — зависит от принятых соглашений). Иногда за определение 1 принимают утверждение «при умножении единицы на любое другое число в результате получается это же число», а натуральные числа определяют, исходя из определений единицы и операции сложения.

Единица также используется в математическом отношении пяти констант математики — собственно единицы, нуля, e, π и i: e^(πi)+1=0

В представлении фон Неймана для натуральных чисел, 1 определяется как множество {0}. Это множество имеет кардинальность 1 и наследственный ранг 1. Такие множества с единственным элементом называются синглетонами.

Единицей будет разность между ближайшими числами натурального ряда n:

1=X_n+1-X_n

В геометрии

• Через одну точку можно провести бесконечное число прямых
• Через одну прямую можно провести бесконечное число плоскостей
• Через любую точку сферы проходит единственная касательная плоскость
• Через любую точку сферы можно провести бесконечное число касательных прямых, причём все они лежат в касательной плоскости
• Объёмы цилиндра, вписанной в него сферы, касающейся его основания, и двух конусов, имеющих общую вершину в центре основания и основания, равные основаниям цилиндра находятся в соотношении 1:2:3 (изображение вписанной в цилиндр сферы украшает могилу первооткрывателя этой истины — Архимеда, как он и просил сделать).

В музыке

• В гармонии тоника обозначается как первая ступень (I).
• Первый по счёту музыкальный интервал — прима.

В других областях

• 1 год до н. э.; 1 год.
• В кириллице числовое значение буквы а (азъ).
• ASCII-код управляющего символа SOH (англ. start of heading).
• 1 — шифр английского языка в международном коде книг — ISBN.
• Число 1 соответствует Сфире Кетер на Древе Жизни.