Точка бифуркации: различия между версиями
мНет описания правки |
|||
| (не показано 16 промежуточных версий этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Точка бифуркации''' — в общем случае момент времени или точка места, в котором происходит непрогнозируемый переход системы в одно из иных состояний. Критическое фазовое состояние системы, при котором система становится неустойчивой относительно флуктуаций (возмущений) и возникает неопределенность: станет ли состояние системы хаотическим или она перейдет в то или иное новое устойчивое состояние, например, на более дифференцированный и высокий уровень упорядоченности. | {{Интересная статья}} | ||
'''Точка бифуркации''' — в общем случае момент времени или точка места, в котором происходит непрогнозируемый переход системы в одно из иных, топологически неэквивалентных исходному, состояний. Критическое фазовое состояние системы, при котором система становится неустойчивой относительно флуктуаций (возмущений) и возникает неопределенность: станет ли состояние системы хаотическим или она перейдет в то или иное новое устойчивое состояние, например, на более дифференцированный и высокий уровень упорядоченности. | |||
Точка бифуркации математически описывается следующим образом: | Точка бифуркации математически описывается следующим образом: | ||
| Строка 5: | Строка 6: | ||
В системе x′ = f(x, ε) точкой локальной бифуркации динамической системы со стационарной точкой x<sub>0</sub> является точка ε = 0, если найдутся сколь угодно малые значения ε, при которых динамическая система в окрестности точки x<sub>0</sub> не является локально топологически эквивалентной системе, отвечающей нулевому значению параметра. | В системе x′ = f(x, ε) точкой локальной бифуркации динамической системы со стационарной точкой x<sub>0</sub> является точка ε = 0, если найдутся сколь угодно малые значения ε, при которых динамическая система в окрестности точки x<sub>0</sub> не является локально топологически эквивалентной системе, отвечающей нулевому значению параметра. | ||
Математически описаны бифуркация цикла и ее | [[Изображение:s-10-16.jpg|thumb|250px| Бифуркация петли сепаратрисы седла]] | ||
[[Изображение:s-09-16.jpg|thumb|250px| Бифуркация рождения инвариантного тора]] | |||
Математически описаны также ''бифуркация седло-узла'', ''бифуркация гомоклинической траектории седла'' или ''бифуркация петли сепаратрисы седла'', ''бифуркация цикла'' или ''бифуркация Пуанкаре—Андронова—Хопфа'' и ее частные случаи - ''бифуркация удвоения периода'' и ''бифуркация рождения инвариантного тора'', когда вокруг потерявшего устойчивость цикла образуется инвариантное многообразие, гомеоморфное тору. В общем случае на этом торе при приближении параметра к нулевому (бифуркационному) значению в бесконечном числе рождаются и умирают длиннопериодические предельные циклы. | |||
Для математического описания прохождения точки бифуркации используются системы дифференциальных уравнений. | |||
=== Свойства точки бифуркации === | === Свойства точки бифуркации === | ||
* ''Непрогнозируемость.'' Обычно точка бифуркации предваряет несколько ветвей [[аттрактор]]а (устойчивых состояний системы), в одно из которых перейдет система. Однако заранее невозможно предсказать, какой новый аттрактор займёт система. Это связано с природой времени - невозможно так синхронизировать внутренние состояния элементов системы, чтобы достоверно определить, в каких состояниях они будут в момент, когда система достигнет точки бифуркации. | * ''Непрогнозируемость.'' Обычно точка бифуркации предваряет несколько ветвей [[аттрактор]]а (устойчивых состояний системы), в одно из которых перейдет система. Однако заранее невозможно предсказать, какой новый аттрактор займёт система. Это связано с природой времени - невозможно так синхронизировать внутренние состояния элементов системы, чтобы достоверно определить, в каких состояниях они будут в момент, когда система достигнет точки бифуркации. | ||
* Точка бифуркации носит ''кратковременный локальный характер'' относительно разделямых ею более длительных устойчивых состояний системы. | * Точка бифуркации носит как правило ''кратковременный локальный характер'' относительно разделямых ею более длительных устойчивых состояний системы. | ||
На основании свойства непрогнозируемости все события делятся на | На основании свойства непрогнозируемости точки бифуркации все события делятся на | ||
* рациональные, | * рациональные, | ||
* иррациональные хаотические - имеющие область бифуркаций и область рациональных аттракторов, и | * иррациональные хаотические - имеющие область бифуркаций и область рациональных аттракторов, и | ||
* иррациональные случайные - зона | * иррациональные случайные - когда зона бифуркации охватывает все пространство возможных событий. | ||
Для бифуркации рождения цикла возможно как мягкое возбуждение автоколебаний системы, сопровождающее потерю устойчивости стационарной точки системы, так и жесткое, когда фазовая точка, находившаяся в окрестности устойчивого начала координат, быстро "выбрасывается" из окрестности стационарной точки, например в окрестность имеющейся у системы удаленной устойчивой стационарной точки или удаленного устойчивого цикла. | |||
== В цикле [[ОПИ и ДО]] == | |||
В цикле [[ОПИ и ДО]] точки бифуркации фигурируют и обсуждаются в следующих романах: | |||
* [[Андреевское братство]] | |||
* [[Время игры]] | |||
* [[Бои местного значения]] | |||
* [[Хлопок одной ладонью]] | |||
[[Категория:Термины]] | [[Категория:Термины]] | ||
Текущая версия от 20:13, 26 апреля 2011
Точка бифуркации — в общем случае момент времени или точка места, в котором происходит непрогнозируемый переход системы в одно из иных, топологически неэквивалентных исходному, состояний. Критическое фазовое состояние системы, при котором система становится неустойчивой относительно флуктуаций (возмущений) и возникает неопределенность: станет ли состояние системы хаотическим или она перейдет в то или иное новое устойчивое состояние, например, на более дифференцированный и высокий уровень упорядоченности.
Точка бифуркации математически описывается следующим образом:
В системе x′ = f(x, ε) точкой локальной бифуркации динамической системы со стационарной точкой x0 является точка ε = 0, если найдутся сколь угодно малые значения ε, при которых динамическая система в окрестности точки x0 не является локально топологически эквивалентной системе, отвечающей нулевому значению параметра.
Математически описаны также бифуркация седло-узла, бифуркация гомоклинической траектории седла или бифуркация петли сепаратрисы седла, бифуркация цикла или бифуркация Пуанкаре—Андронова—Хопфа и ее частные случаи - бифуркация удвоения периода и бифуркация рождения инвариантного тора, когда вокруг потерявшего устойчивость цикла образуется инвариантное многообразие, гомеоморфное тору. В общем случае на этом торе при приближении параметра к нулевому (бифуркационному) значению в бесконечном числе рождаются и умирают длиннопериодические предельные циклы.
Для математического описания прохождения точки бифуркации используются системы дифференциальных уравнений.
Свойства точки бифуркации
- Непрогнозируемость. Обычно точка бифуркации предваряет несколько ветвей аттрактора (устойчивых состояний системы), в одно из которых перейдет система. Однако заранее невозможно предсказать, какой новый аттрактор займёт система. Это связано с природой времени - невозможно так синхронизировать внутренние состояния элементов системы, чтобы достоверно определить, в каких состояниях они будут в момент, когда система достигнет точки бифуркации.
- Точка бифуркации носит как правило кратковременный локальный характер относительно разделямых ею более длительных устойчивых состояний системы.
На основании свойства непрогнозируемости точки бифуркации все события делятся на
- рациональные,
- иррациональные хаотические - имеющие область бифуркаций и область рациональных аттракторов, и
- иррациональные случайные - когда зона бифуркации охватывает все пространство возможных событий.
Для бифуркации рождения цикла возможно как мягкое возбуждение автоколебаний системы, сопровождающее потерю устойчивости стационарной точки системы, так и жесткое, когда фазовая точка, находившаяся в окрестности устойчивого начала координат, быстро "выбрасывается" из окрестности стационарной точки, например в окрестность имеющейся у системы удаленной устойчивой стационарной точки или удаленного устойчивого цикла.
В цикле ОПИ и ДО
В цикле ОПИ и ДО точки бифуркации фигурируют и обсуждаются в следующих романах:
